Los
números enteros son un
conjunto de
números que incluye a los
números naturales distintos de
cero (1, 2, 3, ...), los
negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0. Los enteros negativos, como −1 ó −3 (se leen "menos uno", "menos tres", etc.), son menores que todos los enteros
positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo "más" delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo.
El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra
ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que proviene del
alemán Zahlen ("números", pronunciado [ˈtsaːlən]).
Los números enteros no tienen
parte decimal. Por ejemplo:
- −783 y 154 son números enteros
- 45,23 y −34/95 no son números enteros
Al igual que los números naturales, los números enteros pueden
sumarse,
restarse,
multiplicarse y
dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el
signo del resultado.
Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a
educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.
También hay ciertas magnitudes, como la
temperatura o la
altura toman valores por debajo del cero. La altura del
Everest es 8848
metros por encima del
nivel del mar, y por el contrario, la orilla del
Mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.
Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones
suma y
resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.
El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).
No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de la India.
[cita requerida]
- Aplicación en contabilidad
Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en "números rojos". Esta expresión venía del hecho que lo que hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así:
30 podía representar un balance positivo de 30 sueldos, mientras que
3 escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3 sueldos.
[editar] Introducción
Los
números negativos son necesarios para realizar operaciones como:
- 3 − 5 = ?
Cuando el
minuendo es más pequeño que el
sustraendo, la
resta no puede realizarse. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar ganancias y pérdidas:
Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y al día siguiente pierde 1000, el hombre
ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, se dice que
perdió en total 2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cada caso:
ganó en total o
perdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades se pueden expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 2000 − 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una pérdida es una
ganancia negativa.
[editar] Números con signo
Los
números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para
contar. Al añadirles un signo
menos («−») delante se obtienen los números negativos:
Un número entero negativo es un número natural como 1, 2, 3, etc. precedido de un signo menos, «−». Por ejemplo −1, −2, −3, etcétera. Se leen "menos 1", "menos 2", "menos 3",... |
Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo
más («+») delante y se les llama números positivos.
Un número entero positivo es un número natural como 1, 2, 3,... precedido de un signo más. «+». |
El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo
más o
menos o sin signo indistintamente, ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de números son los llamados "enteros".
Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros con signo (positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por la letra Z, también escrita en "negrita de pizarra" como ℤ :
|
[editar] La recta numérica
Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están ordenados se utiliza la
recta numérica:
Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el
valor absoluto:
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales "| |". |
Ejemplo. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.
El orden de los números enteros puede resumirse en:
El orden de los números enteros se define como:
- Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo es menor que el positivo: −b < +a.
- Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es el de menor valor absoluto, si el signo común es "+", o el de mayor valor absoluto, si el signo común es "−"
- El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.
|
Ejemplo. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36
[editar] Operaciones con números enteros
Los números enteros pueden
sumarse,
restarse,
multiplicarse y
dividirse, igual que puede hacerse con los
números naturales.
En la suma de dos números enteros, se determina por separado el
signo y el
valor absoluto del resultado.
Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:
- Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.
- Si ambos sumandos tienen distinto signo:
- El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.
- El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.
|
Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61
La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:
La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:
- Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales.
- Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales.
- Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a.
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Ejemplo.
- Propiedad asociativa:
- [ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)
- (−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)
- Propiedad conmutativa:
- (+9) + (−17) = −8
- (−17) + (+9) = −8
Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales:
Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero a, existe otro entero −a, que sumado al primero resulta en cero: a + (−a) = 0. |
La
resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma.
La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo. |
Ejemplo. (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 , (−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 , (−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4 , (+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7
[editar] Multiplicación
La
multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el
signo y
valor absoluto del resultado.
En la multiplicación de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:
- El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.
- El signo es "+" si los signos de los factores son iguales, y "−" si son distintos.
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Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la
regla de los signos:
Regla de los signos
- (+) × (+)=(+) Más por más igual a más.
- (+) × (−)=(−) Más por menos igual a menos.
- (−) × (+)=(−) Menos por más igual a menos.
- (−) × (−)=(+) Menos por menos igual a más.
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Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.
La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de
números naturales:
La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:
- Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales.
- Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los productos a × b y b × a son iguales.
- Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al multiplicarlos por 1: a × 1 = a.
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Ejemplo.
- Propiedad asociativa:
- [ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140
- (−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140
- Propiedad conmutativa:
- (−6) × (+9) = −54
- (+9) × (−6) = −54
La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedad distributiva:
Propiedad distributiva. Dados tres números enteros a, b y c, el producto a × (b + c) y la suma de productos (a × b) + (a × c) son idénticos. |
Ejemplo.
- (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21
- [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21
[editar] Propiedades algebraicas
El conjunto de los números enteros, considerado junto con sus
operaciones de
suma y
producto y su
relación de
orden, tiene una estructura que en
matemáticas se denomina
anillo.
Los números enteros pueden además construirse a partir de los
números naturales mediante
clases de equivalencia.
[editar] Véase también
[editar] Referencias
- Bayley, R.; Day, R.; Frey, P.; Howard, A.; Hutchens, D.; McClain, K. (2006) (en inglés). Mathematics. Applications and Concepts. Course 2. McGraw-Hill. ISBN 0-07-865263-4.
